問題

1変数多項式のなすベクトル空間 $P_2(\bf{R})$ において、 $f, g \in P_2(\bf{R})$ に対して、 \begin{align} (f, g) = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx \end{align} で内積を定める。このとき、 $1, x, x^2$ に対してグラム・シュミットの直交化法を適用して、 $P_2(\bf{R})$ の正規直交基底をつくれ。

解法(グラム・シュミットの直交化法の説明は省く)

求める正規直交基底を $(w_1, w_2, w_3)$ とする。問題の積分を内積としているだけなので、

$(1, 1) = \int_{-1}^{1} dx = 2$ より、
$w_1 = \frac{1}{\sqrt{(1,1)}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $(x, w_1) = \int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{2}}{2} x dx = 0$ ,
$f(x) = x - (x, w_1) w_1 = x - 0 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$
よって、
$(f, f) = \int_{-1}^{1} x^2 = \frac{2}{3}$
$w_2 = \frac{f}{\sqrt{(f,f)}} = \sqrt{\frac{3}{2}} x = \frac{\sqrt{6}}{2} x$

3. $(x^2, w_1) = \int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{2}}{2} x^2 dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ,
$(x^2, w_2) = \int_{-1}^{1} x^2(\sqrt{\frac{3}{2}} x) dx = \int_{-1}^{1} \sqrt{\frac{3}{2}}x^3 dx = 0$
よって、
$g(x) = x^2 - (x^2, w_1)w_1 - (x^2, w_2)w_2 = x^2 - \frac{\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \times \sqrt{\frac{3}{2}} x = x^2 - \frac{1}{3}$
$(g,g) = \int_{-1}^{1} (x^2 - \frac{1}{3})^2 = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{8}{45}$
ゆえに、
$w_3 = \frac{g}{\sqrt{(g,g)}} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}(x^2 - \frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{10}}{4}(3x^2 - 1)$